17歲少女只是歲少士學(xué)做了一份家庭作業(yè)，40年前數(shù)學(xué)猜想便被推翻。女推

Mizohata-Takeuchi猜想，翻年誕生于上世紀(jì)80年代，前數(shù)是學(xué)猜想即連接調(diào)和分析、偏微分方程和幾何分析的將攻核心橋梁。

它提出只要每條直線方向的讀博權(quán)重積累都不太大，傅里葉傳播也不會(huì)非常集中。歲少士學(xué)一直以來(lái)人們都認(rèn)為這一猜想是女推正確的，它也被視為通向解決傅里葉限制猜想的翻年希望之一。

如果它被推翻，前數(shù)幾十年來(lái)關(guān)于傅里葉限制、學(xué)猜想即PDE良性等核心問(wèn)題的將攻思考，也要重新更改思路。讀博比如Stein猜想也將不成立。歲少士學(xué)

才17歲的漢娜·凱羅，在今年扔下了這枚“重磅炸彈”。

原本她只是完成導(dǎo)師安排的家庭作業(yè)，論證Mizohata-Takeuchi猜想的更簡(jiǎn)單形式。沒(méi)想到，她卻找到了Mizohata-Takeuchi猜想的反例。

這結(jié)果有多不可思議呢？她也是花了很長(zhǎng)一段時(shí)間，才成功說(shuō)服導(dǎo)師張瑞祥，自己提出的反例是對(duì)的。

張瑞祥，本科畢業(yè)于北大數(shù)院，博士畢業(yè)于普林斯頓?，F(xiàn)在是UC伯克利數(shù)學(xué)系助理教授，是現(xiàn)代調(diào)和分析、偏微分方程、組合幾何領(lǐng)域的重要學(xué)者。2023年獲得有“菲爾茲風(fēng)向標(biāo)”之稱的SASTRA拉馬努金獎(jiǎng)。

值得一提的是，今年2月陶哲軒還預(yù)告了這一重磅成果。

找到反例推翻猜想

首先簡(jiǎn)單了解下傅里葉分析，它是一種重要的數(shù)學(xué)工具，核心思想是把復(fù)雜的函數(shù)分解成一組正弦波或余弦波組合。

它能把看起來(lái)復(fù)雜的對(duì)象（如信號(hào)、圖像、函數(shù)）變成頻率的疊加，常用領(lǐng)域包括信號(hào)處理、音頻分析、金融等。

Mizohata–Takeuchi猜想正是出現(xiàn)在傅里葉分析和偏微分方程（PDE）領(lǐng)域，最初源自對(duì)某類一階擾動(dòng)的薛定諤方程的良定性（well-posedness）問(wèn)題的研究，后來(lái)成為傅里葉限制性理論中的一個(gè)重要問(wèn)題。

它源于上世紀(jì)70-80年代對(duì)偏微分方程解的良定性問(wèn)題的研究，特別是對(duì)一階擾動(dòng)的薛定諤方程的行為分析。

在這一過(guò)程中，人們發(fā)現(xiàn)某些傅里葉變化相關(guān)的加權(quán)L2不等式與解的存在性和唯一性密切相關(guān)。

更通俗一點(diǎn)類比，假設(shè)你在一個(gè)房間里說(shuō)話，聲音從嘴巴里發(fā)出，向各個(gè)方向傳播?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)家們關(guān)心一個(gè)問(wèn)題：

如果你在某些方向上掛了吸音板（相當(dāng)于給這些方向加上了一個(gè)“權(quán)重”），那你能不能通過(guò)“這些方向上的吸音效果”，來(lái)估計(jì)你說(shuō)話的總音量？

這個(gè)“總音量”用傅里葉延拓算子（extension operator）表示，“方向上的吸引效果”是X-ray transform，也就是沿每條直線把權(quán)重w(x)加起來(lái)。

如果你知道w(x)沿所有直線方向的積分都不大，那么這個(gè)傅里葉擴(kuò)展Ef(x)在整個(gè)空間的加權(quán)L2也不會(huì)太大。

具體形式如下：

對(duì)于任意C2的曲面

，設(shè)擴(kuò)展算子為：

猜想認(rèn)為存在如下加權(quán)不等式成立：

其中E(f)是f的傅里葉延拓算子，Xw是w的X-Ray transform。

漢娜正是對(duì)此提出了一個(gè)反例——

對(duì)于任意不在某個(gè)平面上的C2曲面Σ，可以構(gòu)造：

一個(gè)

，非負(fù)權(quán)重函數(shù)

，

使得：

這表明對(duì)于某些特定的f和w，積分的下界比猜想中的上界多了一個(gè)log R的因子，這意味著Mizohata–Takeuchi猜想整體不成立。

具體來(lái)看，作者首先證明了關(guān)于正測(cè)度的X-Ray transform變換的Lp估計(jì)，對(duì)于滿足

的函數(shù)h，證明了：

其中p∈[1,∞]且

。

利用projection-slice定理，將X-Ray transform與傅里葉變換聯(lián)系起來(lái)；通過(guò)Minkowski不等式和Hausdorff-Young不等式，推導(dǎo)出上述估計(jì)。當(dāng)p=∞時(shí)，證明了估計(jì)的最優(yōu)性。

然后構(gòu)建反例。作者通過(guò)選擇超曲面Σ上的一組R-1點(diǎn)

，其中N~log R，并構(gòu)造一個(gè)特殊的格點(diǎn)集Q，使得這些點(diǎn)的平移和組合能夠產(chǎn)生足夠多的重疊，從而導(dǎo)致積分下界顯著增加。然后作者又構(gòu)建了一個(gè)幾何引理，證明存在一組點(diǎn)

，使得這組點(diǎn)的投影在任何方向上都不會(huì)有過(guò)多重疊。這個(gè)引理確保了反例構(gòu)造的有效性。

此外，論文還提出了一種局部版本Mizohata–Takeuchi猜想。

即引入Rε的微弱損失是否仍可能使不等式成立。

17歲數(shù)學(xué)少女，即將開始讀博

最后，來(lái)看一下帶來(lái)如此突破的17歲女孩漢娜·凱羅。

她出生在巴哈馬群島，“打記事起就對(duì)數(shù)學(xué)很感興趣”。

她正式開始深入高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，是搬到美國(guó)后。還是高中生的她參加了UC伯克利的數(shù)學(xué)夏令營(yíng)。在此期間，她給教授們寫信表示自己讀過(guò)哪些領(lǐng)域的書，可不可以上他們的課。

許多人都答應(yīng)了，其中就包括張瑞祥。

她能推翻這一猜想，也是源于張瑞祥的一次家庭作業(yè)——給幾個(gè)猜想讓她選一個(gè)開始論證，但沒(méi)想到漢娜直接“陷”了進(jìn)去，她唯一能想到的就是一種新方法，并且逐漸意識(shí)到只要自己正確應(yīng)用這些信息，她便能反駁這一猜想。

最終結(jié)果我們已經(jīng)看到了，她真的成功了。

如今，這位天才少女已經(jīng)在國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議上登臺(tái)演講，她表示自己不緊張，而且樂(lè)在其中。

畢竟她日常也經(jīng)常給別人講解問(wèn)題，包括比自己大的學(xué)生。

此外值得一提的是，漢娜的導(dǎo)師張瑞祥，也有著相似的傳奇經(jīng)歷。

他中學(xué)時(shí)期就讀于人大附中，2006年至2008年，連續(xù)三次入選中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)。

2008年，他代表中國(guó)參加第49屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO），并榮獲金牌。

那一年，他的隊(duì)友、同桌是韋東奕。

△前排右一：張瑞祥，后排右二：韋東奕

同年，張瑞祥考入北京大學(xué)數(shù)學(xué)院。

本科期間，在大神無(wú)數(shù)的北大數(shù)院張瑞祥也是妥妥的“拿獎(jiǎng)王”，不僅獲得北京大學(xué)五四獎(jiǎng)?wù)?、?guó)家獎(jiǎng)學(xué)金、廖凱原獎(jiǎng)學(xué)金、三好學(xué)生等多項(xiàng)榮譽(yù)。

同時(shí)斬獲第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（數(shù)學(xué)類）全國(guó)一等獎(jiǎng)，第二屆丘成桐大學(xué)生團(tuán)體金獎(jiǎng)，以及個(gè)人代數(shù)銀獎(jiǎng)、幾何銀獎(jiǎng)、分析銀獎(jiǎng)，個(gè)人全能金獎(jiǎng)等。

2017年，張瑞祥獲得普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位。

畢業(yè)后，他先后在普林斯頓高等研究院（IAS）和威斯康星大學(xué)麥迪遜分校開展博士后研究。2021年，他正式加入加州大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)系，成為助理教授。

張瑞祥的主要研究領(lǐng)域是調(diào)和分析，尤其在以下兩個(gè)方向作出貢獻(xiàn)：

-卡爾森關(guān)于薛定諤方程解的逐點(diǎn)收斂問(wèn)題；

-索格波動(dòng)方程局部平滑猜想的二維情況。

2019年，他與合作者在《數(shù)學(xué)年鑒》發(fā)表論文，提出了一種全新技術(shù)，針對(duì)性地從多個(gè)維度解決了卡爾森提出的問(wèn)題。

2023年，張瑞祥榮獲SASTRA拉馬努金獎(jiǎng)——該獎(jiǎng)被稱為“菲爾茲獎(jiǎng)的風(fēng)向標(biāo)”，授予全球32歲以下在數(shù)論或相關(guān)領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家。

接下來(lái)，漢娜將赴馬里蘭大學(xué)攻讀博士學(xué)位（還希望組建自己的團(tuán)隊(duì)），張瑞祥將繼續(xù)擔(dān)任她的導(dǎo)師。

本文來(lái)源：http://www.iv82.cn/news/37d36599597.html

版權(quán)聲明：本文內(nèi)容由互聯(lián)網(wǎng)用戶自發(fā)貢獻(xiàn)，該文觀點(diǎn)僅代表作者本人。本站僅提供信息存儲(chǔ)空間服務(wù)，不擁有所有權(quán)，不承擔(dān)相關(guān)法律責(zé)任。如發(fā)現(xiàn)本站有涉嫌抄襲侵權(quán)/違法違規(guī)的內(nèi)容，請(qǐng)發(fā)送郵件舉報(bào)，一經(jīng)查實(shí)，本站將立刻刪除。